Формула пропорций
Пропо́рция - это равенство двух отношений, когда a:b=c:d
отношение 1 : 10 равно отношению 7 : 70, что также можно записать в виде дроби: 1 10 = 7 70 читается как: «один относится к десяти так же, как семь относится к семидесяти»Основные свойства пропорции
Произведение крайних членов равно произведению средних членов (крест-накрест): если a:b=c:d , то a⋅d=b⋅c
1 10 ✕ 7 70 1 ⋅ 70 = 10 ⋅ 7Обращение пропорции: если a:b=c:d , то b:a=d:c
1 10 7 70 10 1 = 70 7Перестановка средних членов: если a:b=c:d , то a:c=b:d
1 10 7 70 1 7 = 10 70Перестановка крайних членов: если a:b=c:d , то d:b=c:a
1 10 7 70 70 10 = 7 1Решение пропорции с одним неизвестным | Уравнение
1 : 10 = x : 70 или 1 10 = x 70Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение
x = 1 ⋅ 70 10 = 7Как посчитать пропорцию
Задача: нужно пить 1 таблетку активированного угля на 10 килограмм веса. Сколько таблеток нужно выпить, если человек весит 70 кг?
Составим пропорцию: 1 таблетка - 10 кг x таблеток - 70 кг Чтобы найти икс, нужно перемножить два известных числа крест-накрест и поделить на противоположное значение: 1 таблетка x таблеток ✕ 10 кг 70 кг x = 1 ⋅ 70 : 10 = 7 Ответ: 7 таблеток
Задача: за пять часов Вася пишет две статьи. Сколько статей он напишет за 20 часов?
Составим пропорцию: 2 статьи - 5 часов x статей - 20 часов x = 2 ⋅ 20 : 5 = 8 Ответ: 8 статей
Будущим выпускникам школ могу сказать, что умение составлять пропорции мне пригодилось и , и для того, чтобы пропорционально уменьшать картинки, и в HTML-вёрстке интернет-страницы, и в бытовых ситуациях.
Пропо́рция – равенство двух отношений, т. е. равенство вида a: b = c: d , или, в других обозначениях, равенство
Если a : b = c : d , то a и d называют крайними , а b и c - средними членами пропорции.
От « пропорции» никуда не деться, без нее не обойтись во многих задачах. Выход только один – разобраться с этим отношением и пользоваться пропорцией как палочкой-выручалочкой.
Прежде чем приступать к рассмотрению задач на пропорцию, важно вспомнить основное правило пропорции:
В пропорции
произведение крайних членов равно произведению средних
Если какая-то величина в пропорции неизвестна, ее легко будет найти, опираясь на это правило.
Например,
То есть неизвестная величина пропорции – значении дроби, в знаменателе
которой – то число, которое стоит напротив неизвестной величины
, в числителе – произведение оставшихся членов пропорции
(независимо от того, где эта неизвестная величина стоит). 
Задача 1.
Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени?
Решение:
Мы понимаем, что уменьшение веса семени во сколько-то раз, влечет за собой уменьшение веса получаемого масла во столько же раз. То есть величины связаны прямой зависимостью.
Заполним таблицу: 
Неизвестная величина – значение дроби , в знаменателе которой – 21 – величина, стоящая напротив неизвестного в таблице, в числителе – произведение оставшихся членов таблицы-пропорции.
Поэтому получаем, что из 7 кг семени выйдет 1,7 кг масла.
Чтобы правильно заполнять таблицу, важно помнить правило:
Одинаковые наименования нужно записывать друг под другом. Проценты записываем под процентами, килограммы под килограммами и т.д
Задача 2.
Перевести в радианы.
Решение:
Мы знаем, что . Заполним таблицу:
Ответ:
Задача 3.
На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 27?
Решение:
Хорошо видно, что незаштрихованный сектор соответствует углу в (например, потому, что стороны сектора образованы биссектрисами двух смежных прямых углов). А поскольку вся окружность составляет , то на закрашенный сектор приходится .
Составим таблицу:
Откуда площадь круга – есть .
Ответ:
Задача 4. После того, как было вспахано 82% всего поля, осталось вспахать еще 9 га. Какова площадь всего поля?
Решение:
Все поле составляет 100%, и поскольку вспахано 82%, то осталось вспахать 100%-82%=18% поля.
Заполняем таблицу: 
Откуда получаем, что все поле составляет (га).
Ответ:
А следующая задача – с засадой.
Задача 5.
Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 60 км/ч ?
Решение:
Если вы будете решать эту задачу аналогично предыдущей, то получите следующее:
время, которое потребуется товарному поезду, чтобы пройти то же расстояние, что и пассажирским, есть часа. То есть, получается, что идя с меньшей скоростью, он преодолевает (за одно и тоже время) расстояние быстрее, нежели поезд с большей скоростью.
В чем ошибка рассуждений?
До сих пор мы рассматривали задачи, где величины были прямопропорциональны друг другу , то есть рост одной величины во сколько-то раз, дает рост связанной с ней второй величины во столько же раз (аналогично с уменьшением, конечно). А здесь у нас другая ситуация: скорость пассажирского поезда больше скорости товарного во сколько-то раз, а вот время, требуемое на преодоление одного и того же расстояния, требуется пассажирскому поезду меньшее во столько же раз, нежели товарному поезду. То есть величины друг другу обратно пропорциональны .
Схему, которой мы пользовались до сих пор, надо чуть изменить в данном случае.
Решение:
Рассуждаем так:
Пассажирский поезд со скоростью 80 км/ч ехал 3 ч, следовательно, он проехал км. А значит товарный поезд это же расстояние преодолеет за ч.
То есть, если бы мы составляли пропорцию, нам следовало бы поменять местами ячейки правой колонки предварительно. Получили бы: ч.
Ответ: .
Поэтому, пожалуйста, будьте внимательны при составлении пропорции. Разберитесь сначала, с какой зависимостью имеете дело – с прямой или обратной.
Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.
Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.
10 яблок = 100%;
x яблок = 75%.
Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.
Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.
Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.
5 литров - 150 рублей;
30 литров - х рублей;
Решаем эту пропорцию:
x = 900 рублей.
Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.
Отношение двух чисел
Определение 1
Отношением двух чисел является их частное.
Пример 1
отношение $18$ к $3$ может быть записано как:
$18\div 3=\frac{18}{3}=6$.
отношение $5$ к $15$ может быть записано как:
$5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.
С помощью отношения двух чисел можно показать:
- во сколько раз одно число превышает другое;
- какую часть представляет одно число от другого.
При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.
Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с...» или предлога «к...».
Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:
Замечание 1
При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.
Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.
Пример 2
Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?
Решение .
Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:
$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$.
Ответ : количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.
Пример 3
Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$.
Решение .
$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$.
Ответ : $9$ раз.
Понятие пропорции
Определение 2
Пропорцией называется равенство двух отношений:
$a\div b=c\div d$
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
Пример 4
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$, $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$, $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$.
В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.
Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:
Замечание 2
Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:
$a \cdot d=b \cdot c$.
Данное утверждение является основным свойством пропорции .
Справедливо и обратное утверждение:
Замечание 3
Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.
Замечание 4
Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.
Пример 5
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$, $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$, $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$.
С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:
$a=\frac{b \cdot c}{d}$; $b=\frac{a \cdot d}{c}$; $c=\frac{a \cdot d}{b}$; $d=\frac{b \cdot c}{a}$.
Пример 6
$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$;
$6 \cdot 8=16 \cdot a$;
$16 \cdot a=6 \cdot 8$;
$16 \cdot a=48$;
$a=\frac{48}{16}$;
Пример 7
$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$;
$a \cdot 24=21 \cdot 8$;
$a \cdot 24=168$;
$a=\frac{168}{24}$;
$3$ садовника – $108$ деревьев;
$x$ садовников – $252$ дерева.
Составим пропорцию:
$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$.
Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:
$b=\frac{a \cdot d}{c}$;
$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$;
$x=\frac{252}{36}$;
Ответ : для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.
Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.
Отношение двух чисел
Определение 1
Отношением двух чисел является их частное.
Пример 1
отношение $18$ к $3$ может быть записано как:
$18\div 3=\frac{18}{3}=6$.
отношение $5$ к $15$ может быть записано как:
$5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.
С помощью отношения двух чисел можно показать:
- во сколько раз одно число превышает другое;
- какую часть представляет одно число от другого.
При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.
Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с...» или предлога «к...».
Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:
Замечание 1
При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.
Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.
Пример 2
Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?
Решение .
Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:
$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$.
Ответ : количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.
Пример 3
Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$.
Решение .
$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$.
Ответ : $9$ раз.
Понятие пропорции
Определение 2
Пропорцией называется равенство двух отношений:
$a\div b=c\div d$
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
Пример 4
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$, $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$, $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$.
В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.
Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:
Замечание 2
Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:
$a \cdot d=b \cdot c$.
Данное утверждение является основным свойством пропорции .
Справедливо и обратное утверждение:
Замечание 3
Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.
Замечание 4
Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.
Пример 5
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$, $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$, $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$.
С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:
$a=\frac{b \cdot c}{d}$; $b=\frac{a \cdot d}{c}$; $c=\frac{a \cdot d}{b}$; $d=\frac{b \cdot c}{a}$.
Пример 6
$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$;
$6 \cdot 8=16 \cdot a$;
$16 \cdot a=6 \cdot 8$;
$16 \cdot a=48$;
$a=\frac{48}{16}$;
Пример 7
$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$;
$a \cdot 24=21 \cdot 8$;
$a \cdot 24=168$;
$a=\frac{168}{24}$;
$3$ садовника – $108$ деревьев;
$x$ садовников – $252$ дерева.
Составим пропорцию:
$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$.
Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:
$b=\frac{a \cdot d}{c}$;
$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$;
$x=\frac{252}{36}$;
Ответ : для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.
Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.
